在2020年的考研数学中，微分方程的大题部分可谓是一道考验考生综合能力的难题。以下是对该题目的详细解析：
一、题目回顾
题目：已知函数 \( f(x) \) 在区间 \([0,+\infty)\) 上连续，且满足微分方程 \( f''(x) + f(x) = 2\cos x \)，求 \( f(x) \) 的表达式。
二、解题思路
1. 首先，我们需要找到微分方程的通解。根据线性微分方程的解法，我们可以设 \( f(x) = C_1 \sin x + C_2 \cos x \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 为待定常数。
2. 接下来，求出 \( f(x) \) 的一阶导数和二阶导数，代入微分方程中，得到：
\[ f'(x) = C_1 \cos x - C_2 \sin x \]
\[ f''(x) = -C_1 \sin x - C_2 \cos x \]
3. 将 \( f(x) \) 的一阶导数和二阶导数代入微分方程 \( f''(x) + f(x) = 2\cos x \) 中，得到：
\[ (-C_1 \sin x - C_2 \cos x) + (C_1 \sin x + C_2 \cos x) = 2\cos x \]
4. 化简上述方程，得到：
\[ 0 = 2\cos x \]
5. 由于 \( \cos x \) 在区间 \([0,+\infty)\) 上不恒为零，因此上述方程无解。这说明我们的假设 \( f(x) = C_1 \sin x + C_2 \cos x \) 是错误的。
6. 我们需要重新寻找 \( f(x) \) 的表达式。由于 \( f(x) \) 的二阶导数 \( f''(x) \) 与 \( f(x) \) 本身相差一个常数项，我们可以尝试将 \( f(x) \) 表达为 \( f(x) = C_1 \sin x + C_2 \cos x + C_3 \)，其中 \( C_3 \) 为待定常数。
7. 按照上述方法，求出 \( f(x) \) 的一阶导数和二阶导数，代入微分方程 \( f''(x) + f(x) = 2\cos x \) 中，得到：
\[ (-C_1 \sin x - C_2 \cos x + C_3) + (C_1 \sin x + C_2 \cos x + C_3) = 2\cos x \]
8. 化简上述方程，得到：
\[ 2C_3 = 2\cos x \]
9. 解得 \( C_3 = \cos x \)，因此 \( f(x) = C_1 \sin x + C_2 \cos x + \cos x \)。
10. 根据题目条件，\( f(x) \) 在区间 \([0,+\infty)\) 上连续，因此 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 可取任意实数。
三、总结
2020年考研数学微分方程大题主要考查了线性微分方程的解法。在解题过程中，考生需要具备较强的分析能力和计算能力。此外，本题还提醒我们在解题时要善于寻找合适的表达式，以简化问题。
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