在考研数学的备考过程中，中值定理证明题是一个常见的考点。这类题目不仅考查了对中值定理的理解，还要求考生具备良好的逻辑推理和计算能力。下面，我将结合具体案例，为大家解析这类题目的解题思路。
案例：
证明：设函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，且 \( f(a) < f(b) \)，则存在 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \)。
解题思路：
1. 构造辅助函数：设 \( F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \cdot x \)，则 \( F(a) = f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \cdot a < 0 \)，\( F(b) = f(b) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \cdot b > 0 \)。
2. 应用零点定理：由于 \( F(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，且 \( F(a) \) 和 \( F(b) \) 异号，根据零点定理，必存在 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( F(\xi) = 0 \)。
3. 推导结论：将 \( \xi \) 代入 \( F(x) \) 的定义式，得到 \( f(\xi) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \cdot \xi = 0 \)，即 \( f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \)。
总结：
中值定理证明题的关键在于构造合适的辅助函数，并应用零点定理。掌握了这种方法，就能轻松应对各种类型的证明题目。
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