例题：已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_{n+1} = \frac{a_n}{2} + \frac{1}{3}\)，且 \(a_1 = 2\)。求证：\(\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{3}{2}\)。
解答：
首先，我们观察数列的递推公式 \(a_{n+1} = \frac{a_n}{2} + \frac{1}{3}\)，可以将其改写为：
\[ a_{n+1} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}(a_n - \frac{3}{2}) \]
令 \(b_n = a_n - \frac{3}{2}\)，则 \(b_1 = a_1 - \frac{3}{2} = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\)。递推公式变为：
\[ b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n \]
这是一个等比数列，首项 \(b_1 = \frac{1}{2}\)，公比 \(q = \frac{1}{2}\)。等比数列的通项公式为：
\[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1}{2^n} \]
因此，\(a_n\) 的通项公式为：
\[ a_n = b_n + \frac{3}{2} = \frac{1}{2^n} + \frac{3}{2} \]
当 \(n \to \infty\) 时，\(\frac{1}{2^n} \to 0\)，所以：
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{3}{2} \]
证毕。
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