数学分析考研试题及答案如下：
【试题一】
设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([0, 3]\) 上的最大值和最小值。
【答案一】
首先求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)，令 \( f'(x) = 0 \) 得 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。
计算 \( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 4 \)，\( f(3) = 0 \)。
因此，函数 \( f(x) \) 在区间 \([0, 3]\) 上的最大值为 4，最小值为 0。
【试题二】
证明：若 \( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^n} = 0 \)，则 \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \)。
【答案二】
由题意知，对于任意 \( \epsilon > 0 \)，存在 \( M > 0 \)，使得当 \( x > M \) 时，有 \( \left| \frac{f(x)}{x^n} \right| < \epsilon \)。
即 \( \left| f(x) \right| < \epsilon \cdot x^n \)。因为 \( x^n \) 当 \( x \to \infty \) 时趋于无穷大，所以 \( \left| f(x) \right| \) 必然趋于 0。
因此，\( \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \)。
【试题三】
设 \( A \) 是 \( n \) 阶可逆矩阵，\( B \) 是 \( n \) 阶矩阵，证明：若 \( AB = BA \)，则 \( \det(A) \neq 0 \)。
【答案三】
因为 \( A \) 是可逆矩阵，所以 \( \det(A) \neq 0 \)。
若 \( AB = BA \)，则 \( \det(AB) = \det(BA) \)。
由行列式的性质，\( \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) \) 和 \( \det(BA) = \det(B) \cdot \det(A) \)。
因此，\( \det(A) \cdot \det(B) = \det(B) \cdot \det(A) \)，即 \( \det(A) \neq 0 \)。
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