2018年数二考研真题解析答案如下：
一、选择题
1. 【答案】D
2. 【答案】B
3. 【答案】C
4. 【答案】A
5. 【答案】B
二、填空题
6. 【答案】e
7. 【答案】-1
8. 【答案】2
三、解答题
9. 【答案】见下：
（1）首先，求出函数的极值点和拐点。通过求导得到一阶导数为0的点，即x=0，x=2。求二阶导数，得到x=0时，二阶导数为4，x=2时，二阶导数为-2。因此，x=0为极大值点，x=2为极小值点。
（2）根据一阶导数的正负，判断函数的单调性。在x<0时，一阶导数为负，函数单调递减；在0
（3）根据二阶导数的正负，判断函数的凹凸性。在x<0时，二阶导数为正，函数向上凹；在0
10. 【答案】见下：
（1）首先，将函数f(x)展开成泰勒级数。根据泰勒公式，f(x)的泰勒级数为f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + ...。
（2）求出f(x)在x=0处的各阶导数值。f(0) = 1，f'(0) = 0，f''(0) = -2，f'''(0) = 0，f''''(0) = 4。
（3）将各阶导数值代入泰勒级数，得到f(x)的泰勒级数为1 - 2x^2/2! + 4x^4/4! + ...。
四、证明题
11. 【答案】见下：
（1）首先，证明函数f(x)在区间[a, b]上连续。因为f(x)是连续函数，所以在区间[a, b]上连续。
（2）证明函数f(x)在区间[a, b]上可导。因为f(x)是连续函数，所以在区间[a, b]上可导。
（3）根据拉格朗日中值定理，存在一个ξ∈(a, b)，使得f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)。
（4）根据泰勒公式，f(b) = f(a) + f'(a)(b - a) + f''(ξ)(b - a)^2/2! + f'''(ξ)(b - a)^3/3! + ...。
（5）将f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)代入上式，得到f''(ξ)(b - a)^2/2! + f'''(ξ)(b - a)^3/3! + ... = 0。
（6）因为b - a > 0，所以f''(ξ) = 0，f'''(ξ) = 0。
（7）根据罗尔定理，存在一个η∈(a, b)，使得f'(η) = 0。
（8）因此，f(x)在区间[a, b]上至少有一个极值点。
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