2015年数二真题及解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(1) = \underline{\text{A}}$（1）。
答案：A
解析：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，代入$x=1$得$f'(1) = 3 - 6 + 4 = 1$。
2. 设$a > 0$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = \underline{\text{B}}$（1）。
答案：B
解析：根据洛必达法则，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{a\cos ax}{1} = a$。
3. 设$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，则$f'(0) = \underline{\text{C}}$（-1）。
答案：C
解析：$f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$，代入$x=0$得$f'(0) = -1$。
二、填空题
4. 设$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f''(x) = \underline{\text{D}}$（6x - 6）。
答案：D
解析：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，再求导得$f''(x) = 6x - 6$。
三、解答题
5. 求函数$f(x) = \ln(x + 1)$的导数。
答案：$f'(x) = \frac{1}{x + 1}$
解析：根据对数函数的求导法则，$f'(x) = \frac{1}{x + 1}$。
6. 设$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，求$f(x)$在$x = 0$处的二阶导数。
答案：$f''(x) = -\frac{2}{(x^2 + 1)^3}$
解析：$f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$，再求导得$f''(x) = -\frac{2}{(x^2 + 1)^3}$。
7. 求曲线$y = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$在$x = 1$处的切线方程。
答案：$y = -2x + 4$
解析：$f'(1) = 1$，切点坐标为$(1, -2)$，切线方程为$y = -2x + 4$。
【考研刷题通】小程序，助你轻松备战考研！涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，海量真题解析，助你高效刷题，轻松过线！微信搜索“考研刷题通”，开启你的考研之旅！