2020年数三真题答案详解如下：
一、选择题
1. 答案：C
2. 答案：B
3. 答案：A
4. 答案：D
5. 答案：C
二、填空题
6. 答案：e^(-x)
7. 答案：-1
8. 答案：1/2
三、解答题
9. 解答：本题考查极限的计算。根据洛必达法则，我们有：
lim (x→0) (x^3 - x) / (x^2 - 1) = lim (x→0) (3x^2 - 1) / (2x) = lim (x→0) (3x - 1/2) = -1/2
10. 解答：本题考查二阶常系数线性微分方程的解。设通解为y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，代入微分方程，解得特征方程r^2 - 2r - 3 = 0，解得r1 = 3，r2 = -1。因此，通解为y = C1e^3x + C2e^(-x)。
11. 解答：本题考查矩阵的特征值与特征向量。根据特征值与特征向量的定义，我们有：
(A - λI)x = 0，其中A是给定的矩阵，λ是特征值，x是对应的特征向量。
解得特征值为λ1 = 2，λ2 = 3，λ3 = 4。对应特征向量分别为x1 = (1, 2, 1)，x2 = (1, 0, 1)，x3 = (1, 1, 2)。
12. 解答：本题考查二重积分的计算。根据极坐标转换公式，我们有：
∫∫_D xy dA = ∫∫_D r^2sinθcosθ r dr dθ
其中D是给定的积分区域。
计算得到积分结果为1/3。
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