在考研数学中，最值问题通常涉及函数的极值求解。以下是一个典型的最值例题：
例题：已知函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy + 4x - 6y + 12 \)，求函数在约束条件 \( x + y = 4 \) 下的最大值和最小值。
解题步骤：
1. 利用约束条件 \( x + y = 4 \)，将 \( y \) 表示为 \( y = 4 - x \)。
2. 将 \( y \) 代入函数 \( f(x, y) \) 中，得到 \( f(x) = x^2 + (4 - x)^2 - 2x(4 - x) + 4x - 6(4 - x) + 12 \)。
3. 展开并简化 \( f(x) \) 得到 \( f(x) = 2x^2 - 10x + 28 \)。
4. 求导数 \( f'(x) = 4x - 10 \)，令其为0，解得 \( x = \frac{5}{2} \)。
5. 将 \( x = \frac{5}{2} \) 代入约束条件，得 \( y = \frac{3}{2} \)。
6. 计算 \( f\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right) \) 得到函数的最大值。
7. 检查 \( x \) 的边界值（即 \( x = 0 \) 和 \( x = 4 \)）对应的 \( f(x) \) 值，确定最小值。
答案：通过计算可得，函数在 \( x = \frac{5}{2}, y = \frac{3}{2} \) 处取得最大值 \( f\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right) = \frac{49}{2} \)，在 \( x = 0, y = 4 \) 处取得最小值 \( f(0, 4) = 28 \)。
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