在考研数学一中，微分方程是考察的重点内容之一。以下是一例关于微分方程通解的真题：
真题内容：
已知微分方程 $y'' - 4y' + 4y = e^{2x}$，求该微分方程的通解。
解题步骤：
1. 求解对应的齐次方程：
首先，求解对应的齐次方程 $y'' - 4y' + 4y = 0$ 的通解。设 $y = e^{rx}$，代入齐次方程得到特征方程 $r^2 - 4r + 4 = 0$，解得 $r_1 = r_2 = 2$。因此，齐次方程的通解为 $y_h = (C_1 + C_2x)e^{2x}$。
2. 求解非齐次方程的特解：
对于非齐次方程 $y'' - 4y' + 4y = e^{2x}$，由于非齐次项 $e^{2x}$ 与齐次方程的解形式相同，故采用特解形式 $y_p = Ax^2e^{2x}$。将 $y_p$ 及其导数代入非齐次方程，得到 $A = \frac{1}{4}$。因此，非齐次方程的特解为 $y_p = \frac{1}{4}x^2e^{2x}$。
3. 求出微分方程的通解：
将齐次方程的通解 $y_h$ 与非齐次方程的特解 $y_p$ 相加，得到微分方程的通解为 $y = (C_1 + C_2x)e^{2x} + \frac{1}{4}x^2e^{2x}$。
总结：
本题考查了考研数学一微分方程的通解求解，要求考生熟练掌握齐次方程的解法、非齐次方程的特解求解方法以及通解的求法。通过以上步骤，我们得到了微分方程 $y'' - 4y' + 4y = e^{2x}$ 的通解。
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