在2025年的考研数学中，数列极限题目如下：
题目：已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{3}$，且 $a_1 = 1$，求 $\lim_{n \to \infty} a_n$。
解题过程：
首先，我们可以观察数列的递推关系，尝试找到一个通项公式。由于 $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{3}$，我们可以对 $a_n$ 进行变形：
$$
a_n - 1 = \frac{1}{2}(a_n - 1)
$$
接下来，我们考虑极限 $\lim_{n \to \infty} a_n$。由于数列是单调递增的，我们可以假设 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，则有：
$$
L = \frac{1}{2}L + \frac{1}{3}
$$
解这个方程，得到：
$$
L = 2
$$
因此，$\lim_{n \to \infty} a_n = 2$。
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