2025考研数二答案解析如下：
一、选择题
1. 【答案】D。解析：由题意得，$x^2-2x-3=0$，解得$x=3$或$x=-1$。当$x=3$时，$f(3)=3^2-2\times3-3=0$；当$x=-1$时，$f(-1)=(-1)^2-2\times(-1)-3=0$。故选D。
2. 【答案】B。解析：由题意得，$x^2+y^2=1$，即单位圆。当$x=0$时，$y=\pm1$；当$y=0$时，$x=\pm1$。故选B。
3. 【答案】C。解析：由题意得，$\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\,dx$。令$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\,dx$，则$-I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos x\,dx$。两式相加得，$2I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\,dx=\frac{\pi^3}{24}$，故$I=\frac{\pi^3}{48}$。故选C。
二、填空题
4. 【答案】$e^{\ln 2}$。解析：由题意得，$\ln 2^x=x\ln 2$，两边同时取指数得，$2^x=e^{x\ln 2}$。又因为$e^{\ln a}=a$，故$2^x=e^{\ln 2}$。
5. 【答案】$\frac{\pi}{4}$。解析：由题意得，$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x\cos x\,dx=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x\,d(\sin x)$。令$u=\sin x$，则$du=\cos x\,dx$。当$x=0$时，$u=0$；当$x=\frac{\pi}{2}$时，$u=1$。代入得，$\frac{1}{2}\int_0^1u^2\,du=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}u^3\bigg|_0^1=\frac{1}{6}$。故选$\frac{\pi}{4}$。
三、解答题
6. 【答案】
（1）$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，$f'(x)$在$(0,+\infty)$上连续，故$f'(x)$在$(0,+\infty)$上可导。
（2）由题意得，$f'(x)=\frac{f(x)}{x}$，两边同时求导得，$f''(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}$。
（3）当$x>0$时，$f'(x)=\frac{f(x)}{x}>0$，故$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。又因为$f(1)=1$，故$f(x)>1$，即$f(x)$在$(0,+\infty)$上无零点。
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