2020年考研数学二真题答案解析如下：
一、选择题
1. 答案：A
解析：根据题意，求极限$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}$，使用洛必达法则，得到$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x - 1}{3x^2} = \frac{0}{0}$，再次使用洛必达法则，得到$\lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{6x} = \frac{0}{0}$，再次使用洛必达法则，得到$\lim_{x\to 0}\frac{-\cos x}{6} = -\frac{1}{6}$。
2. 答案：B
解析：由题意，$\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin x\,dx$，使用分部积分法，令$u = x$，$dv = \sin x\,dx$，则$du = dx$，$v = -\cos x$，得到$\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin x\,dx = -x\cos x\big|_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx = 1$。
3. 答案：C
解析：由题意，$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x\cos x}{x^3}$，使用洛必达法则，得到$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x + x\sin x}{3x^2}$，再次使用洛必达法则，得到$\lim_{x\to 0}\frac{-\sin x + x\cos x}{6x} = \lim_{x\to 0}\frac{-\sin x + x\cos x}{6x} = \frac{1}{6}$。
二、填空题
1. 答案：$\frac{1}{2}$
解析：由题意，$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x\,dx$，使用三角恒等式$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$，得到$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1 - \cos 2x)\,dx = \frac{1}{2}\left[x - \frac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}$。
2. 答案：$-\frac{\pi}{2}$
解析：由题意，$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{x}\,dx$，使用分部积分法，令$u = \frac{1}{x}$，$dv = \sin x\,dx$，则$du = -\frac{1}{x^2}dx$，$v = -\cos x$，得到$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{x}\,dx = -\left(\frac{\cos x}{x}\right)\big|_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{x^2}\,dx = -\left(\frac{0}{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{0}\right) + \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{x^2}\,dx = -\frac{\pi}{2}$。
三、解答题
1. 答案：略
解析：根据题意，求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$的极值点和拐点。首先求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。然后求二阶导数$f''(x) = 6x - 6$，令$f''(x) = 0$，解得$x = 1$。当$x < 1$时，$f''(x) < 0$，当$x > 1$时，$f''(x) > 0$，因此$x = 1$是函数的拐点。当$x = \frac{2}{3}$时，$f''(x) = 0$，因此$x = \frac{2}{3}$是函数的极小值点。当$x = 1$时，$f''(x) = 0$，因此$x = 1$是函数的极大值点。
2. 答案：略
解析：根据题意，求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$在区间$[0, 2]$上的最大值和最小值。首先求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。然后求二阶导数$f''(x) = 6x - 6$，令$f''(x) = 0$，解得$x = 1$。当$x < 1$时，$f''(x) < 0$，当$x > 1$时，$f''(x) > 0$，因此$x = 1$是函数的拐点。当$x = \frac{2}{3}$时，$f''(x) = 0$，因此$x = \frac{2}{3}$是函数的极小值点。当$x = 1$时，$f''(x) = 0$，因此$x = 1$是函数的极大值点。计算$f(0) = 0$，$f(2) = 2$，$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{27}$，$f(1) = 0$，因此函数在区间$[0, 2]$上的最大值为$2$，最小值为$\frac{2}{27}$。
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