在2021年考研数学中，多元函数求极值是考察的重点之一。以下是对这一知识点的详细解析：
多元函数求极值，首先要确定函数的定义域，然后求出函数的一阶偏导数。对于每个变量，分别令一阶偏导数等于零，解出可能的极值点。接着，求出二阶偏导数，构造Hessian矩阵（即二阶偏导数矩阵）。通过Hessian矩阵的行列式和主对角线元素的符号，可以判断极值点的性质：
1. 若Hessian矩阵的行列式大于零，且主对角线元素均为正，则该点为局部极小值点。
2. 若Hessian矩阵的行列式大于零，且主对角线元素均为负，则该点为局部极大值点。
3. 若Hessian矩阵的行列式小于零，则该点为鞍点。
4. 若Hessian矩阵的行列式等于零，则需要进一步分析。
在实际解题过程中，还需注意以下步骤：
- 确定驻点：令一阶偏导数等于零，解出驻点。
- 求二阶偏导数：计算每个驻点的二阶偏导数。
- 判断极值性质：根据Hessian矩阵的行列式和主对角线元素的符号，判断驻点的极值性质。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 - 4xy + 2y^2，求其在定义域内的极值。
首先，求一阶偏导数：
f_x = 2x - 4y
f_y = -4x + 4y
令f_x = 0和f_y = 0，解得驻点为(0, 0)。
然后，求二阶偏导数：
f_xx = 2
f_xy = -4
f_yy = 4
构造Hessian矩阵：
H = | 2 -4 |
| -4 4 |
计算Hessian矩阵的行列式：
det(H) = 2*4 - (-4)*(-4) = 8 - 16 = -8
由于det(H) < 0，所以驻点(0, 0)为鞍点。
最后，结合题目要求，可以总结出多元函数求极值的方法和步骤，为2021年考研数学的备考提供有力支持。
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