在2020年的数学分析考研题中，考生们遇到了一系列富有挑战性的题目。以下是一道典型的例题：
题目：设函数 \( f(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式的前三项是什么？
解答：首先，我们需要求出 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的导数。通过计算得到：
- \( f'(x) = 2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right) \)
- \( f''(x) = 2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) + 2x \cos\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x^2} \sin\left(\frac{1}{x}\right) \)
- \( f'''(x) = 4x \cos\left(\frac{1}{x}\right) - \frac{2}{x} \sin\left(\frac{1}{x}\right) - \frac{2}{x^3} \cos\left(\frac{1}{x}\right) \)
将 \( x = 0 \) 代入上述导数中，得到：
- \( f(0) = 0 \)
- \( f'(0) = 0 \)
- \( f''(0) = 0 \)
因此，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式的前三项为 \( f(x) = 0 + 0x + 0x^2 + \ldots \)。
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