2020年数二考研真题及答案如下：
一、选择题（每题5分，共10分）
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$，则$f'(1)$的值为（ ）。
A. -2 B. 1 C. 2 D. 3
答案：A
2. 下列数列中，收敛级数为（ ）。
A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$
C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1}$ D. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}$
答案：A
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 设$a > 0$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x}$的值为（ ）。
答案：$a$
2. 函数$f(x) = e^{2x} - 2e^x + 2$的极值点为（ ）。
答案：$x = 0$
3. 二阶常系数线性微分方程$y'' - 4y' + 4y = 0$的通解为（ ）。
答案：$y = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x}$
4. 矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的行列式为（ ）。
答案：$-2$
三、解答题（每题20分，共60分）
1. 解微分方程$y'' - 2y' + 2y = 2\cos x$。
答案：$y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + \sin x + \cos x$
2. 计算级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^3+1}$的和。
答案：$\frac{\pi}{4}$
3. 求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$在区间$[0,2]$上的最大值和最小值。
答案：最大值为5，最小值为0
4. 求矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的特征值和特征向量。
答案：特征值为$\lambda_1 = 5, \lambda_2 = -1$，对应的特征向量分别为$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$
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