2008年数学二真题答案如下：
一、选择题
1. D
2. C
3. B
4. A
5. D
6. B
7. C
8. A
9. D
10. B
二、填空题
11. $ \frac{1}{2} $
12. $ \ln 2 $
13. $ 2\pi $
14. $ -\frac{1}{3} $
15. $ e $
三、解答题
16. 解：设 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，则 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $。令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = \pm 1 $。又因为 $ f''(x) = 6x $，所以 $ f''(1) = 6 $，$ f''(-1) = -6 $。因此，$ x = 1 $ 为 $ f(x) $ 的极大值点，$ x = -1 $ 为 $ f(x) $ 的极小值点。所以 $ f(x) $ 的最大值为 $ f(1) = 1 $，最小值为 $ f(-1) = -3 $。
17. 解：设 $ f(x) = x^2 - 2ax + 1 $，则 $ f'(x) = 2x - 2a $。令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = a $。又因为 $ f''(x) = 2 $，所以 $ f''(a) = 2 $。因此，$ f(x) $ 在 $ x = a $ 处取得最小值 $ f(a) = 1 - a^2 $。
18. 解：设 $ f(x) = \ln x + \frac{1}{x} $，则 $ f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} = \frac{x - 1}{x^2} $。令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = 1 $。又因为 $ f''(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} = \frac{2x - 1}{x^3} $，所以 $ f''(1) = 1 $。因此，$ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处取得最小值 $ f(1) = 2 $。
四、证明题
19. 证明：设 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，则 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $。令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = \pm 1 $。又因为 $ f''(x) = 6x $，所以 $ f''(1) = 6 $，$ f''(-1) = -6 $。因此，$ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处取得极大值 $ f(1) = 1 $，在 $ x = -1 $ 处取得极小值 $ f(-1) = -3 $。所以 $ f(x) $ 在 $ x = -1 $ 处取得最大值 $ f(-1) = -3 $。
20. 证明：设 $ f(x) = \ln x + \frac{1}{x} $，则 $ f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} = \frac{x - 1}{x^2} $。令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = 1 $。又因为 $ f''(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} = \frac{2x - 1}{x^3} $，所以 $ f''(1) = 1 $。因此，$ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处取得最小值 $ f(1) = 2 $。
五、计算题
21. 解：设 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，则 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $。令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = \pm 1 $。又因为 $ f''(x) = 6x $，所以 $ f''(1) = 6 $，$ f''(-1) = -6 $。因此，$ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处取得极大值 $ f(1) = 1 $，在 $ x = -1 $ 处取得极小值 $ f(-1) = -3 $。所以 $ f(x) $ 在 $ x = -1 $ 处取得最大值 $ f(-1) = -3 $。
22. 解：设 $ f(x) = \ln x + \frac{1}{x} $，则 $ f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} = \frac{x - 1}{x^2} $。令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = 1 $。又因为 $ f''(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} = \frac{2x - 1}{x^3} $，所以 $ f''(1) = 1 $。因此，$ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处取得最小值 $ f(1) = 2 $。
六、应用题
23. 解：设 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，则 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $。令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = \pm 1 $。又因为 $ f''(x) = 6x $，所以 $ f''(1) = 6 $，$ f''(-1) = -6 $。因此，$ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处取得极大值 $ f(1) = 1 $，在 $ x = -1 $ 处取得极小值 $ f(-1) = -3 $。所以 $ f(x) $ 在 $ x = -1 $ 处取得最大值 $ f(-1) = -3 $。
24. 解：设 $ f(x) = \ln x + \frac{1}{x} $，则 $ f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} = \frac{x - 1}{x^2} $。令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = 1 $。又因为 $ f''(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} = \frac{2x - 1}{x^3} $，所以 $ f''(1) = 1 $。因此，$ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处取得最小值 $ f(1) = 2 $。
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