泰勒公式在考研中的应用经典例题如下：
例题：已知函数$f(x) = e^x$，求其在$x=0$处的泰勒展开式，并利用该展开式求$\int_0^1 e^x \, dx$的近似值。
解题过程：
1. 首先，泰勒公式的一般形式为：
\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]
对于$f(x) = e^x$，在$x=0$处的泰勒展开式为：
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]
2. 接下来，我们利用泰勒展开式求$\int_0^1 e^x \, dx$的近似值。由于$\int e^x \, dx = e^x + C$，我们可以将区间[0,1]分为n个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x = \frac{1}{n}$。
3. 对于每个小区间，我们可以用泰勒公式近似计算$f(x)$的值，然后求和：
\[ \int_0^1 e^x \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} e^{0 + (i-1)\Delta x} \Delta x \]
\[ = \sum_{i=1}^{n} \left(1 + (i-1)\frac{1}{n} + \frac{(i-1)^2}{2!n^2} + \frac{(i-1)^3}{3!n^3} + \cdots \right) \frac{1}{n} \]
4. 随着n的增大，上述和的近似值将越来越接近实际的积分值。具体计算过程中，可以通过计算器或编程实现。
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