在数学考研中，以下是一些重要的公式、定理及其证明概述：
1. 二项式定理：
\[
(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k
\]
证明：通过数学归纳法或者展开二项式的幂级数可得。
2. 洛必达法则：
当 \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \) 形式为 \( \frac{0}{0} \) 或 \( \frac{\infty}{\infty} \) 时，如果 \( f'(x) \) 和 \( g'(x) \) 在 \( a \) 的某个邻域内连续，且 \( g'(x) \neq 0 \)，则有：
\[
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
\]
证明：通过泰勒展开和洛必达法则的迭代应用。
3. 傅里叶级数：
对于周期函数 \( f(x) \)，它可以表示为傅里叶级数：
\[
f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)
\]
证明：利用三角函数的正交性和积分技巧。
4. 极限存在性定理：
如果函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，则在 \((a, b)\) 内至少存在一点 \( c \)，使得：
\[
f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx
\]
证明：利用中值定理。
5. 极大值与极小值：
若函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 的某邻域内可导，且 \( f'(x_0) = 0 \)，则 \( x_0 \) 为 \( f(x) \) 的驻点。如果 \( f''(x_0) > 0 \)，则 \( x_0 \) 是局部极小值点；如果 \( f''(x_0) < 0 \)，则 \( x_0 \) 是局部极大值点。
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