考研数学每日一题：函数极限与连续性深度解析

在考研数学的备考过程中，函数的极限与连续性是考生必须掌握的核心概念之一。这些知识点不仅贯穿于高等数学的各个章节，更是后续学习多元函数微积分、级数理论等高级内容的基础。为了帮助考生更好地理解和应用这些概念，我们每日精选一道典型题目，通过细致的解析和解答，帮助大家攻克难点，提升解题能力。今天的题目将围绕函数极限的保号性展开，探讨在特定条件下函数值的变化规律。

问题精选：函数极限与保号性

设函数 f(x) 在点 x₀ 的某去心邻域内有定义，且极限 lim_x→x0 f(x) = A。如果 A > 0（或 A < 0），那么是否一定存在 δ > 0，使得当 0 < x x₀ < δ 时，有 f(x) > 0（或 f(x) < 0）？请通过逻辑推理和反例说明。

答案解析

我们需要明确题目中的核心概念——函数极限的保号性。根据极限的定义，如果 lim_x→x0 f(x) = A，那么对于任意给定的 ε > 0，总存在 δ > 0，使得当 0 < x x₀ < δ 时，有 f(x) A < ε。这个定义告诉我们，当 x 足够接近 x₀ 时，f(x) 的值会非常接近 A。

现在，我们假设 A > 0，并试图证明是否存在 δ > 0，使得当 0 < x x₀ < δ 时，有 f(x) > 0。根据极限的定义，对于 ε = A/2 > 0，存在 δ > 0，使得当 0 < x x₀ < δ 时，有 f(x) A < A/2。这意味着 f(x) 的值介于 A A/2 和 A + A/2 之间，即 A/2 < f(x) < 3A/2。显然，由于 A > 0，所以 f(x) > A/2 > 0。因此，当 A > 0 时，确实存在 δ > 0，使得在 0 < x x₀ < δ 时，f(x) > 0。

然而，如果 A = 0，情况就不同了。此时，对于任意 ε > 0，存在 δ > 0，使得当 0 < x x₀ < δ 时，有 f(x) < ε。这意味着 f(x) 的值可以非常接近 0，但并不一定严格大于 0。例如，考虑函数 f(x) = x² sin(1/x) 在 x₀ = 0 处的极限。显然，lim_x→0 x² sin(1/x) = 0，但 f(x) 在 x = 0 处没有定义，且在 0 的任意去心邻域内，f(x) 的值既有正值也有负值。因此，当 A = 0 时，无法保证存在 δ > 0，使得在 0 < x x₀ < δ 时，f(x) > 0。

综上所述，函数极限的保号性需要满足特定条件。当 A > 0 时，确实存在 δ > 0，使得在 0 < x x₀ < δ 时，f(x) > 0；但当 A = 0 时，这种保号性并不一定成立。这个结论不仅适用于一元函数，也适用于多元函数的极限问题。因此，在解决这类问题时，考生需要特别注意极限值的符号，并结合具体的函数形式进行逻辑推理。

拓展思考

除了上述问题，考生还需要关注以下几个相关概念：

通过对这些概念的深入理解，考生可以更好地应对考研数学中的各种复杂问题。建议大家在平时练习中，多关注这些概念的内在联系和应用场景，逐步提升自己的数学思维能力和解题技巧。