考研数学例题精选：高频考点与解题技巧解析

在考研数学的备考过程中，例题是考生理解和掌握知识点的关键工具。通过分析高频考点的典型例题，考生不仅能巩固基础，还能提升解题速度和准确率。本文精选了几个考研数学中的常见题型，结合详细解析，帮助考生突破重难点，顺利应对考试。这些例题涵盖了高等数学、线性代数和概率论等多个模块，且均为历年真题中的常见考点，具有极高的参考价值。

例题1：极限计算中的洛必达法则应用

极限计算是考研数学中的基础题型，而洛必达法则则是解决“未定型”极限的常用方法。以下是一道典型的例题及其解析：

例题：求极限 lim (x→0) (ex 1 x) / x2。

解析：此题属于“0/0”型未定式，可直接应用洛必达法则。首先对分子和分母分别求导：

lim (x→0) [ex 1] / 2x = lim (x→0) ex / 2 = 1/2。

洛必达法则需要连续使用直至不再出现未定型。在本题中，第一次求导后仍为“0/0”型，因此需要再次求导。然而，第二次求导后分母为常数，计算即可得解。值得注意的是，洛必达法则并非万能，当极限存在但导数极限不存在时，需考虑其他方法。考生应熟悉常见函数的泰勒展开式，有时可直接代入简化计算。

例题2：多元函数的极值求解

多元函数的极值问题是考研数学中的重点，通常涉及求驻点和判断极值类型。以下是一道典型例题：

例题：求函数 f(x, y) = x3 3xy2 + y3 在原点(0,0)处的极值。

解析：首先计算偏导数并求驻点：

fx = 3x2 3y2，fy = -6xy + 3y2。

令 fx = 0，fy = 0，解得驻点为 (0,0) 和 (1,1)。为判断极值类型，需计算二阶偏导数并构造海森矩阵：

H = fxx fxy = 6x -6y ， fxy fyy = -6x 6y2 。

在原点(0,0)处，H 的特征值一正一负，说明此处为鞍点而非极值点。而在 (1,1) 处，H 的特征值均大于0，故为极小值点。通过本题可以看出，海森矩阵的判断是关键，但计算过程中需注意符号变化。考生应熟练掌握驻点判断的完整流程，避免因计算错误导致结论偏差。

例题3：线性代数中的特征值与特征向量

线性代数部分的特征值问题是高频考点，以下是一道涉及特征向量计算的例题：

例题：已知矩阵 A = 2 1 ，求其特征值和特征向量。

解析：首先计算特征多项式：

det(A λI) = (2-λ)(1-λ) 1 = λ2 3λ + 1 = 0。

解得特征值 λ? = (3+√5)/2，λ? = (3-√5)/2。为求特征向量，需分别代入 (A λI)x = 0 解方程：

对 λ?，(A λ?I)x = 0 化简后得特征向量 k?(1, -1)?；

对 λ?，(A λ?I)x = 0 化简后得特征向量 k?(1, 2)?。

值得注意的是，特征向量存在无穷多个，只需取非零解即可。考生应掌握特征值与特征向量的基本性质，如特征值的代数和等于迹、几何和等于秩等。当矩阵为实对称矩阵时，特征向量正交的性质常被用于简化计算，这一点在后续的二次型问题中尤为重要。

例题4：概率论中的条件概率与独立性

概率论中的条件概率和独立性是考试中的常考点，以下是一道综合应用题：

例题：袋中有5个红球和3个白球，随机抽取两次，每次抽取一个不放回。已知第一次抽到红球，求第二次抽到白球的概率。

解析：首先明确条件概率的定义，P(BA) = P(AB) / P(A)。在本题中，事件A为“第一次抽到红球”，事件B为“第二次抽到白球”：

P(A) = 5/8；

P(AB) = (5/8) × (3/7) = 15/56。

因此，P(BA) = (15/56) / (5/8) = 6/14 = 3/7。通过本题可以看出，条件概率的计算关键在于正确理解样本空间的变化。考生应熟练掌握条件概率与全概率公式的应用，并注意区分“互斥”与“独立”的区别。例如，独立事件A、B满足 P(AB) = P(A)P(B)，而互斥事件A、B满足 P(A+B) = P(A) + P(B)，且 P(AB) = 0。