关键词：考研数学、例题、解析
【深度解析】考研数学例题4-7
例题4：设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求$f'(x)$。
【解答】
首先，我们知道多项式函数的导数可以通过求每一项的导数来得到。对于$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，我们可以分别对每一项求导：
- $x^3$的导数是$3x^2$；
- $-3x^2$的导数是$-6x$；
- $4x$的导数是$4$；
- 常数项$1$的导数是$0$。
将这些导数相加，我们得到$f'(x)=3x^2-6x+4$。
例题5：已知函数$g(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求$g'(x)$。
【解答】
这是一个分式函数，我们可以使用商的导数法则来求导。设$u(x)=1$，$v(x)=x^2+1$，则$g(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$。
根据商的导数法则，$g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$。
$u'(x)=0$，因为$u(x)$是常数；
$v'(x)=2x$，因为$x^2$的导数是$2x$。
将这些值代入公式，我们得到$g'(x)=\frac{0\cdot(x^2+1)-1\cdot(2x)}{(x^2+1)^2}=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$。
例题6：求函数$h(x)=\ln(x^2+1)$的导数$h'(x)$。
【解答】
这是一个对数函数的导数问题。我们知道，对数函数$\ln u$的导数是$\frac{1}{u}\cdot u'$，其中$u$是函数内部的表达式。
对于$h(x)=\ln(x^2+1)$，$u(x)=x^2+1$，所以$h'(x)=\frac{1}{x^2+1}\cdot 2x=\frac{2x}{x^2+1}$。
例题7：若函数$p(x)=e^x\sin x$，求$p'(x)$。
【解答】
这是一个乘积函数的导数问题。我们可以使用乘积法则，即$(uv)'=u'v+uv'$，其中$u=e^x$，$v=\sin x$。
$u'(x)=e^x$，因为指数函数的导数是它本身；
$v'(x)=\cos x$，因为正弦函数的导数是余弦函数。
将这些值代入乘积法则，我们得到$p'(x)=e^x\sin x + e^x\cos x$。
【考研刷题通】——你的考研刷题小助手！涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，海量真题、模拟题，助你轻松备考，高效刷题！快来体验吧！【考研刷题通】