考研数学每日精讲：函数极限与连续性的深度辨析

在考研数学的备考过程中，函数的极限与连续性是基础又核心的概念板块。这部分内容不仅直接考察选择题和填空题，更是后续微分、积分等知识的重要基石。很多同学在理解这两个概念时容易陷入“形式记忆”的误区，比如只记住定义而忽略其几何意义，或者混淆左极限与右极限的区别。本文将通过三个典型问题，深入剖析极限的ε-δ语言描述、连续性的等价条件以及间断点的分类，帮助大家从本质上把握这两个概念的内在联系与差异。每个问题都包含详细解析和典型错误警示，适合正在系统复习的同学参考。

问题一：如何用ε-δ语言证明函数极限存在？

许多同学面对ε-δ证明时，总是无从下手。实际上，关键在于将抽象定义转化为可操作的数学推演。以证明lim(x→2)(x2-4)/x-2=4为例，正确步骤如下：

• 从ε出发，设x2-4/x-2<ε，化简得x-2<ε
• 但x≠2时，原式可分解为x+2，此时需取δ=min(1,ε/(x+2))
• 典型错误：忽略分母约简前对x的限制，导致δ取值不严谨

该证明的几何意义在于，任意给定ε-邻域(4-ε,4+ε)，总能找到δ-邻域(2-δ,2+δ)（除x=2外），使得函数值映射在此区间内。值得注意的是，ε-δ定义的本质是"任意小正数ε，总能找到更小的δ"，这种逆向思维需要反复练习才能掌握。

问题二：分段函数的连续性如何判断？

分段函数在衔接点处的连续性判断是常考点，但很多同学容易遗漏"左右极限相等"这一关键条件。以f(x)={x2, x≤1; 2x, x>1