在浩如烟海的考研数学题目中，有一道积分题堪称“数学界的珠穆朗玛峰”，其难度之高，令无数考生望而生畏。这道题不仅要求考生具备扎实的积分基础，还需巧妙运用高等数学的各种技巧。下面，就让我们一窥这道“考研数学最难积分题”的真面目。
题目：设函数$f(x)=\frac{1}{x^2}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$，其中$x>0$，求$\int_0^1 f(x)dx$。
解析：本题考查了积分技巧、换元法、分部积分法等多种数学工具。解题过程如下：
1. 换元：令$t=\frac{1}{x}$，则$dt=-\frac{1}{x^2}dx$，从而原式变为$\int_1^\infty \sin t dt$。
2. 分部积分：设$u=\sin t$，$dv=dt$，则$du=\cos t dt$，$v=t$。根据分部积分公式，有
$$\int \sin t dt = -\cos t + C$$
代入原式得
$$\int_1^\infty \sin t dt = -\cos t \bigg|_1^\infty = 1$$
3. 回代：将$t=\frac{1}{x}$代回原式，得
$$\int_0^1 f(x)dx = \int_1^\infty \sin t dt = 1$$
综上所述，这道考研数学最难积分题的答案为1。
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