在2025年考研数学中，导数定义题是一道经典且具有挑战性的题目。以下是一道原创的导数定义题：
题目：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求$f'(1)$的值。
解题思路：
1. 首先，根据导数的定义，我们需要计算函数$f(x)$在$x=1$处的导数。
2. 导数的定义是：$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$。
3. 将$x=1$代入上式，得到$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$。
4. 接下来，我们需要计算$f(1+h)$和$f(1)$的值。
5. $f(1+h) = (1+h)^3 - 3(1+h)^2 + 4(1+h) + 1$。
6. $f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 1$。
7. 将这两个表达式代入导数的定义中，进行化简。
解答：
$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^3 - 3(1+h)^2 + 4(1+h) + 1 - (1^3 - 3 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 1)}{h}$
$= \lim_{h \to 0} \frac{1 + 3h + 3h^2 + h^3 - 3 + 6h + 3h^2 - 4 + 4h + 1 - 1 + 3 - 4}{h}$
$= \lim_{h \to 0} \frac{14h + 6h^2 + h^3}{h}$
$= \lim_{h \to 0} (14 + 6h + h^2)$
$= 14$
因此，$f'(1)$的值为14。
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