在考研数学中，积分与三角函数的结合题目是常见的高频考点。以下是一道典型的真题解析：
题目：计算定积分 $\int_0^{\pi} \sin^3 x \, dx$。
解题思路：
1. 首先，利用三角恒等变换，将 $\sin^3 x$ 转化为更易于积分的形式。我们知道 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$，因此 $\sin^3 x = \sin x (1 - \cos^2 x)$。
2. 接下来，对 $\sin x (1 - \cos^2 x)$ 进行积分。这里我们可以采用分部积分法。
3. 最后，计算积分的上下限值，得到最终结果。
具体步骤如下：
1. 利用三角恒等变换，将 $\sin^3 x$ 转化为 $\sin x (1 - \cos^2 x)$。
2. 对 $\sin x (1 - \cos^2 x)$ 进行分部积分，设 $u = \sin x$，$dv = (1 - \cos^2 x) dx$。则 $du = \cos x dx$，$v = x - \frac{1}{2} \sin 2x$。
3. 根据分部积分法，我们有 $\int \sin x (1 - \cos^2 x) dx = \sin x (x - \frac{1}{2} \sin 2x) - \int (x - \frac{1}{2} \sin 2x) \cos x dx$。
4. 对右侧的积分再次使用分部积分法，设 $u = x$，$dv = \cos x dx$。则 $du = dx$，$v = \sin x$。
5. 将上述结果代入，得到 $\int_0^{\pi} \sin^3 x \, dx = \sin x (x - \frac{1}{2} \sin 2x) - \int (x - \frac{1}{2} \sin 2x) \cos x dx$。
6. 计算积分的上下限值，得到最终结果。
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