在考研数学中，导数的定义是基础且重要的考点。以下是一道关于导数定义的真题试题：
真题试题：
已知函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求在点 \( x = 2 \) 处的导数 \( f'(2) \)。
解题步骤：
1. 根据导数的定义，导数 \( f'(x) \) 在点 \( x \) 处可以表示为：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
2. 将 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) 代入上述公式，得到：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - 6(x+h)^2 + 9(x+h) - (x^3 - 6x^2 + 9x)}{h} \]
3. 展开并简化上述表达式：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 6x^2 - 12xh - 6h^2 + 9x + 9h - x^3 + 6x^2 - 9x}{h} \]
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 12xh - 6h^2 + 9h}{h} \]
4. 提取公因式 \( h \) 并简化：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 - 12x - 6h + 9) \]
5. 当 \( h \to 0 \) 时，\( 3xh \)、\( h^2 \) 和 \( -6h \) 都趋向于 0，因此：
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]
6. 将 \( x = 2 \) 代入 \( f'(x) \) 中，得到：
\[ f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 \]
答案： \( f'(2) = -3 \)
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