泰勒公式在考研证明题中的应用广泛，以下是一则原创解题思路：
在考研数学中，泰勒公式是一个重要的工具。以下以一道考研证明题为例，展示泰勒公式在解题中的应用。
题目：证明函数$f(x) = e^x$在$x=0$处的泰勒展开式为$f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$。
解题步骤：
1. 首先，我们知道泰勒公式的一般形式为：
$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + o((x-a)^n)$
2. 由于题目要求证明$f(x) = e^x$在$x=0$处的泰勒展开式，因此取$a=0$，则有：
$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)$
3. 接下来，我们需要计算$f(x) = e^x$在$x=0$处的各阶导数值。由于$e^x$的导数仍为$e^x$，因此：
$f'(x) = e^x$
$f''(x) = e^x$
$f'''(x) = e^x$
$\cdots$
$f^{(n)}(x) = e^x$
4. 将以上导数值代入泰勒公式中，得到：
$f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$
5. 最后，我们需要证明当$n \rightarrow \infty$时，$o(x^n) \rightarrow 0$。由于$e^x$在$x=0$处的泰勒展开式为$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$，可知当$n \rightarrow \infty$时，$o(x^n)$的极限为$0$。
综上，我们证明了函数$f(x) = e^x$在$x=0$处的泰勒展开式为$f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$。
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