24考研数学二二重积分难点解析与备考指南

二重积分是考研数学二的重要考点，也是许多同学的难点所在。它不仅涉及复杂的计算，还考察对积分区域、积分次序选择的灵活运用。本文将针对二重积分的常见问题进行详细解析，帮助同学们掌握解题技巧，提升应试能力。

常见问题解答

问题一：如何确定二重积分的积分次序？

二重积分的积分次序选择直接影响计算的复杂程度。一般来说，确定积分次序需要遵循以下步骤：

• 根据积分区域的图形特征，判断区域是X型还是Y型。
• 如果是X型区域，即用垂直于x轴的直线穿过区域时，区域被分成若干条带状部分，此时应先对y积分后对x积分。
• 如果是Y型区域，即用水平于y轴的直线穿过区域时，区域被分成若干条带状部分，此时应先对x积分后对y积分。
• 特殊情况，如果区域不规则，需要将其分割成几个小区域，分别确定积分次序后再相加。

例如，对于积分区域D由y=x和y=x2围成的情况，可以将其看作X型区域，先对y从x2到x积分，再对x从0到1积分；也可以将其看作Y型区域，先对x从y到y2积分，再对y从0到1积分。显然，选择X型区域更简便。

问题二：如何处理被积函数含有绝对值或分段的情况？

被积函数含有绝对值或分段时，需要先对函数进行化简，将积分区域分成若干个子区域，使每个子区域内函数表达式保持一致。具体步骤如下：

• 对于绝对值函数，根据绝对值的定义将其转化为分段函数。
• 对于分段函数，找到分段点，将积分区域按分段点划分。
• 在每个子区域内，分别计算二重积分，最后将结果相加。

例如，计算积分?Dy-xdxdy，其中D是由y=x、y=2x和y=2围成的三角形区域。解联立方程y=x和y=2得到交点(2,2)，将区域分成两部分：D1（y=x与y=2x围成）和D2（y=2x与y=2围成）。在D1内，y-x=y-x；在D2内，y-x=x-y。因此，原积分可以拆分为：

?Dy-xdxdy = ?D1(y-x)dxdy + ?D2(x-y)dxdy

其中D1的积分次序为先对x从y到2y，再对y从0到1；D2的积分次序为先对x从y/2到2，再对y从1到2。通过计算可得最终结果为5/6。

问题三：如何利用对称性简化二重积分计算？

二重积分的对称性是简化计算的重要技巧。常见的对称性包括：

• 关于x轴对称：若f(x,-y)=f(x,y)，则?Df(x,y)dxdy=2?D1f(x,y)dxdy，其中D1为D在x轴上方的部分。
• 关于y轴对称：若f(-x,y)=f(x,y)，则?Df(x,y)dxdy=2?D1f(x,y)dxdy，其中D1为D在y轴右方的部分。
• 关于原点对称：若f(-x,-y)=f(x,y)，则?Df(x,y)dxdy=4?D1f(x,y)dxdy，其中D1为D在第一象限的部分。
• 旋转对称：若积分区域D绕原点旋转180°后不变，且f(x,y)=f(-x,-y)，则积分值为0。

例如，计算积分?D(x+y)e(-x2-y2)dxdy，其中D为圆域x2+y2≤1。由于被积函数关于x轴和y轴均对称，且f(x,-y)=f(x,y)，可以将积分区域限制在第一象限，再乘以4。在第一象限内，x+y≥0，因此原积分等于4?D1(x+y)e(-x2-y2)dxdy，其中D1为圆域在第一象限的部分。进一步拆分为：

4?D1xe(-x2-y2)dxdy + 4?D1ye(-x2-y2)dxdy

由于D1关于y=x对称，第一个积分等于第二个积分，因此原积分等于8?D1ye(-x2-y2)dxdy。采用极坐标变换，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，dxdy=ρdρdθ，积分区域为0≤ρ≤1，0≤θ≤π/2，得到：

8∫0π/2∫01ρsinθe(-ρ2)ρdρdθ = 4∫0π/2sinθdθ∫01ρ2e(-ρ2)dρ

通过计算可得最终结果为(1-e-1)/2。