考研数学公式大全及典型例题深度解析

考研数学公式是考生备考的核心，掌握公式并能灵活运用是取得高分的关键。本文系统整理了考研数学中常见的公式，并结合典型例题进行深度解析，帮助考生理解公式的本质和适用场景。通过具体的例题演示，考生可以更好地掌握解题技巧，避免在考试中因公式运用不当而失分。

核心公式与例题解析

问题一：定积分的分部积分公式及其应用

定积分的分部积分公式为：∫_a^b u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) _a^b ∫_a^b u'(x)v(x) dx。这个公式在处理含有对数函数、指数函数和三角函数的积分时特别有用。

例题：计算 ∫₀¹ xln(x) dx。

解答：选择 u(x) = ln(x) 和 v'(x) = x，则 u'(x) = 1/x 和 v(x) = x2/2。根据分部积分公式，有：

∫₀¹ xln(x) dx = [ln(x) x2/2] ₀¹ ∫₀¹ (1/x) (x2/2) dx

计算边界项：[ln(x) x2/2] ₀¹ = (ln(1) 1/2) (ln(0) 0/2) = 0 0 = 0（注意ln(0)为负无穷，但乘以0后为0）

计算积分项：∫₀¹ x/2 dx = [x2/4] ₀¹ = 1/4 0 = 1/4

因此，原积分结果为 0 1/4 = -1/4。这个例子展示了分部积分在处理对数函数时的应用技巧。

问题二：多元函数的偏导数公式及其几何意义

多元函数 f(x, y) 在点 (x?, y?) 处的偏导数定义为：f_x(x?, y?) = lim_h→0 [f(x?+h, y?) f(x?, y?)]/h，f_y(x?, y?) = lim_h→0 [f(x?, y?+h) f(x?, y?)]/h。偏导数表示函数在该点沿坐标轴方向的变化率。

例题：设 f(x, y) = x2 + y2，求 f_x(1, 2) 和 f_y(1, 2)。

解答：首先计算 f_x(x, y) = 2x，代入 (1, 2) 得 f_x(1, 2) = 2 1 = 2。然后计算 f_y(x, y) = 2y，代入 (1, 2) 得 f_y(1, 2) = 2 2 = 4。这个例子展示了偏导数的计算方法，以及如何沿不同方向分析函数的变化。

问题三：级数收敛性的判别方法

级数收敛性的判别方法主要有比值判别法、根值判别法、比较判别法等。比值判别法适用于一般项含有阶乘或指数的级数，根值判别法适用于一般项含有幂函数的级数。

例题：判别级数 ∑_n=1^∞ (n/2ⁿ) 的收敛性。

解答：使用比值判别法，计算：

lim_n→∞ (n+1)/2ⁿ⁺¹ ÷ (n/2ⁿ) = lim_n→∞ [(n+1)/2n] [2ⁿ/2ⁿ⁺¹] = lim_n→∞ (n+1)/2n = 1/2

由于比值小于1，根据比值判别法，级数收敛。这个例子展示了如何通过比值判别法判断级数的收敛性，对于含有指数项的级数特别有效。