在求解一个立体几何问题时，我们需要运用积分的思想来计算体积。以下是一个考研数学中关于体积的例题：
例题：求由抛物面 \( z = 4 - x^2 - y^2 \) （\( z \geq 0 \)）与平面 \( z = 0 \) 所围成的立体的体积。
解题步骤：
1. 确定积分区域：首先，我们需要确定积分的范围。由于抛物面与平面 \( z = 0 \) 相交于 \( z = 0 \) 时，有 \( 4 - x^2 - y^2 = 0 \)，解得 \( x^2 + y^2 = 4 \)。这是一个半径为2的圆，因此 \( x \) 和 \( y \) 的取值范围是 \( -2 \leq x \leq 2 \) 和 \( -\sqrt{4 - x^2} \leq y \leq \sqrt{4 - x^2} \)。
2. 设置三重积分：根据体积的计算公式，体积 \( V \) 可以通过以下三重积分来计算：
\[
V = \iiint_D dz \, dx \, dy
\]
其中 \( D \) 是 \( x \)-\( y \) 平面上的投影区域。
3. 计算积分：将 \( z \) 的表达式代入积分中，我们得到：
\[
V = \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4 - x^2}}^{\sqrt{4 - x^2}} \int_0^{4 - x^2 - y^2} dz \, dy \, dx
\]
对 \( z \) 积分，得到：
\[
V = \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4 - x^2}}^{\sqrt{4 - x^2}} (4 - x^2 - y^2) \, dy \, dx
\]
4. 进一步计算：接下来，对 \( y \) 积分，然后对 \( x \) 积分，最终得到体积 \( V \)。
通过上述步骤，我们可以计算出所求立体的体积。考研数学中这类问题需要扎实的积分技巧和对几何图形的深刻理解。
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