在考研数学中，数列极限的压轴题通常要求考生具备深厚的极限理论基础，并能灵活运用各种极限求解方法。以下是一道典型的数列极限压轴题：
题目：已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$，求$\lim_{n\to\infty}a_n$。
解题思路：首先，观察数列$\{a_n\}$的递推关系，可以发现$\{a_n\}$是一个单调递减的数列。接下来，我们需要证明$\{a_n\}$是收敛的。由于$a_n>0$，我们可以尝试使用夹逼定理。设$b_n=\frac{1}{2}$，则对于任意$n$，有$b_n\leq a_n$。接下来，证明数列$\{b_n\}$是单调递增的，即$b_{n+1}\geq b_n$。计算$b_{n+1}-b_n=\frac{1}{2(1+b_n)}-\frac{1}{2}=\frac{b_n}{2(1+b_n)}>0$，因此$\{b_n\}$是单调递增的。又因为$b_n\leq a_n$，所以$\{a_n\}$也是单调递增的。由于$\{a_n\}$单调递减且有下界，根据单调有界原理，$\{a_n\}$收敛。
设$\lim_{n\to\infty}a_n=A$，则根据递推关系，有$A=\frac{A}{1+A}$。解这个方程，得到$A=0$或$A=1$。又因为$a_n>0$，所以$A=0$。因此，$\lim_{n\to\infty}a_n=0$。
【考研刷题通】小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你轻松刷题，备战考研！立即下载，开启高效刷题之旅！微信小程序搜索：【考研刷题通】，开启你的考研之路！