在考研数学中，无穷级数是一个重要的考点。以下是一个无穷级数的例题及其解答过程：
例题：判断以下级数是否收敛？如果收敛，求其和。
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4 + 1} \]
解答：
首先，我们观察到这是一个正项级数，因此我们可以尝试使用比较审敛法。
1. 确定比较级数：由于 \( n^4 \) 在 \( n^4 + 1 \) 中占主导地位，我们可以将原级数与 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 进行比较。
2. 比较审敛法：我们知道 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是一个收敛的级数（即著名的巴塞尔问题，其和为 \( \frac{\pi^2}{6} \)）。
3. 比较极限：计算两级的比较极限：
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^4 + 1}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^4}{n^4 + 1} = 1 \]
由于比较极限存在且不为零，根据比较审敛法，原级数也收敛。
4. 求和：由于原级数与收敛的级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 的比值为常数，我们可以直接使用级数的性质：
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4 + 1} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4 + 1} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4 + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{6} \]
因此，原级数的和为 \( \frac{\pi^2}{6} \)。
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