在考研数学中，常用的基本不等式包括但不限于以下几种：
1.算术平均数与几何平均数不等式：对于任意非负实数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，有
\[
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n}
\]
当且仅当 \(a_1 = a_2 = \cdots = a_n\) 时取等号。
2.柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数序列 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 和 \(b_1, b_2, \ldots, b_n\)，有
\[
(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2
\]
当且仅当 \(a_i/b_i\) 为常数时取等号。
3.拉格朗日中值定理：如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，那么至少存在一点 \(\xi \in (a, b)\)，使得
\[
f'( \xi ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
\]
4.均值不等式：对于任意正实数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，有
\[
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n}
\]
当且仅当 \(a_1 = a_2 = \cdots = a_n\) 时取等号。
以上这些基本不等式在考研数学的解题过程中扮演着重要的角色，熟练掌握它们将有助于解决各种数学问题。
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